連続時間制御の場合

制御対象 $P(s)$ は原点に極を持ち、 原点には零点を持たない仮定する。 さらに、$P(s)$ は原点以外の安定極を持たないと仮定し、 複素開右半平面の不安定零点を $z_i (i=1, \cdots, N_z)$とする。 このとき、連続時間制御器で達成可能な $H_2$ 評価関数の最適値 $J^\ast_c$ は、 以下の定理で与えられる。

[定理１]

$$\begin{eqnarray*} J^\ast_c = \sum^{N_z}_{i=1} \frac{2}{z_i} + \frac{1}{\pi} \... ...og \left(1+\frac{\rho^2}{\vert P(j\omega)\vert^2}\right) d\omega \end{eqnarray*}$$

この解析解から、制御しやすい制御対象の幾つかの性質を導くことができる。

• $\rho=0$ とし制御入力の制限を取り除くと、 第２項が零となり、性能限界は不安定零点だけで決定される。
• 原点に近い不安定零点ほど性能劣化への影響は大きい。 したがって、不安定零点を持たないように制御対象を構成することが 必要であるが、もしそれが不可能ならばできるだけ原点から遠い位置に 零点を配置するのが望ましい。

なお上記結果は、２自由度制御系 とすると、制御対象が不安定であっても成立する一般的な結果であり、 双対問題である外乱除去問題も含め一般的に議論されている。