サンプル値制御の場合

図に示すサンプル値制御系を考える。 ここで、制御対象 $P(s)$ は連続時間系であるが、制御器 ${\bf K}$ は 離散時間系 $K_d[z]$ とアンチエリアシングフィルタ $F(s)$、 理想サンプラ $S_T$、零次ホールド $H_T$ で 構成されており、サンプリング周期は $T>0$ とする。 なお、零次ホールド $H_T$ の伝達関数 $H(s)$ は $H(s) = {(1-e^{-sT})}/{s}$ で与えられることに注意しておく。

図 2: サンプル値制御系

いま、ナイキスト周波数を $\omega_N:={\pi}/{T}$ と定義し、伝達関数 $G(s)$ の高調波成分を表す伝達関数 $G_k(s)$ を

$$G_k(s)=G(s+2k\omega_Nj)$$

と表し、 ${\cal Z}[\cdot]$ を零次ホールド等価な伝達関数を表すとする。 このとき、達成可能な $H_2$ 制御性能 $J_{sd}^*(T)$ は、以下の定理で与えられる。

[定理２]

$$\begin{eqnarray*} J_{sd}^*(T) &=& \sum^{N_z}_{i=1} \frac{2}{z_i} + T\cdot J_{d}(T) + T\cdot J_{a}(T) \vspace*{-5mm} \end{eqnarray*}$$

ただし、

$$\begin{eqnarray*} J_{d}(T) & := & \sum_{i=1}^{m_d} \frac{\sigma_i+1}{\sigma_i-1... ...\log (\frac{A}{B})} {1-\cos \omega T} \; d\omega \vspace*{-5mm} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} A & := & \sum_{k=-\infty}^\infty \vert P^{(m)}_k(j \omega )\... ...^{(m)}_k(j \omega )(\frac{H_{k}(j \omega )}{T})^2 \right\vert^2 \end{eqnarray*}$$

ここで、$P^{(m)}(s)$ は $P(s)$ の最小位相部分を表す伝達関数で、 $\sigma_i$ $(i=1,~\cdots,~m_d)$ は、

$$\hat{P}_{d}(z) := z \cdot {\cal Z}[P^{(m)}(s)H(s)] \cdot {\cal Z}[F(s)]$$

の単位円外の零点である。

上記の結果から、以下のことわかる。

• 上記の結果において、第1項は取り除くことができない 連続時間系の不安定零点の影響である。
• 第2項と第3項はいづれも非負で、 それぞれ離散化零点の影響とエイリアシングの影響を表している。
• 例え制御入力に対するペナルティーを無くしても、すなわち $\rho=0$ としても第2項と第3項は零とはならない。これが、サンプル値制御を 行うときに付加された性能限界の量で、サンプリング周期 $T$ を 零に近付けていくと、1次のオーダで零に近付いていくことが 確認できる。